Розклад Жордана — Шевальє

Розкладом Жордана — Шевальє у лінійній алгебрі називається розклад лінійного ендоморфізму скінченновимірного простору (чи, еквівалентно, матриці цього перетворення для деякого вибраного базису простору) як суми чи, у випадку автоморфізмів, добутку простіших складових, а саме напівпростих, нільпотентних чи, у випадку автоморфізмів, уніпотентних операторів. Розклад Жордана — Шевальє особливо легко отримати для матриць записаних у жордановій нормальній формі.

Більш загально означення даного розкладу можна поширити на випадок так званих локально скінченних ендоморфізмів векторних просторів. Цей факт, а також те, що компоненти розкладу є многочленами від ендоморфізму робить розклад Жордана — Шевальє важливим інструментом у теорії лінійних алгебричних груп.

Означення

Адитивний розклад Жордана — Шевальє

Адитивний розклад Жордана — Шевальє ендоморфізму $g$ скінченновимірного векторного простору — запис цього ендоморфізму у вигляді суми напівпростого і нільпотентного ендоморфізмів, що комутують між собою: $g=g_{s}+g_{n}$. Ендоморфізми $g_{s}$ і $g_{n}$ називаються відповідно напівпростою і нільпотентною компонентами розкладу Жордана — Шевальє ендоморфізму $g$.

Якщо в деякому базисі простору матриця $(a_{ij})$ ендоморфізму $g$ є жордановою матрицею, а $t$ — такий ендоморфізм, що в тому ж базисі його матриця має вигляд $(b_{ij})$, де $b_{ij}=0$ при всіх $i\neq j$ і $b_{ii}=a_{ii}$ для всіх $i$, то розклад Жордана — Шевальє ендоморфізму матиме вигляд $g=t+(g-t)$, тобто $g_{s}=t$ і $g_{n}=g-t$.

Мультиплікативний розклад Жордана — Шевальє

Якщо $g$ — автоморфізм простору $V$, то $g_{s}$ — також автоморфізм $V$ і $g=g_{s}g_{u}=g_{u}g_{s}$ де $g_{u}=1_{V}+g_{s}^{-1}g_{n}$ і $1_{V}$ позначає тотожний автоморфізм простору $V$. Автоморфізм $g_{u}$ є уніпотентним, тобто всі його власні значення дорівнюють одиниці. Будь-яке представлення автоморфізму $g$ у вигляді добутку комутуючих напівпростого і уніпотентного автоморфізмів збігається з описаним поданням $g=g_{s}g_{u}=g_{u}g_{s}$. Воно називається мультиплікативним розкладом Жордана — Шевальє автоморфізму $g$, a $g_{s}$ і $g_{u}$ — напівпростою і уніпотентною компонентою автоморфізму $g$.

Властивості

• Для будь-якого ендоморфізму $g$ векторного простору $V$ над алгебрично замкнутим полем $K$ (і, більш загально, над довільним досконалим полем) розклад Жордана — Шевальє існує і є єдиним.
• Для напівпростої і нільпотентної компоненти ендоморфізму $g$ справедливими є рівності $g_{s}=P(g)$ і $g_{n}=Q(g)$ для деяких многочленів $P$ і $Q$ над полем $K$ з нульовими вільними членами.

Нехай $a_{i}$ — різні власні значення автоморфізму $g$ із алгебричною кратністю. Тоді характеристичний многочлен ендоморфізму можна записати як $S(x)=\prod (x-a_{i})^{n_{i}}$.

Позначимо також $V_{i}=\{v\in V:(g-a_{i}I)_{i}^{n}v=0\}$. Підпростори $V_{i}$ є стабільними щодо ендоморфізму $g$ і весь простір є їх прямою сумою, що легко можна побачити перевівши матрицю перетворення до жорданової нормальної форми.

Згідно з китайською теоремою про залишки для многочленів, існує многочлен $P\in K[x]$, для якого:

$P(x)\equiv 0(\operatorname {mod} x),\;\;P(x)\equiv a_{i}(\operatorname {mod} (x-a_{i})^{n_{i}}),\;\forall i$.

Позначимо $g_{s}=P(g)$. Тоді для $v\in V_{i}$ отримуємо $g_{s}v=(a_{i}I+P_{i}(g)(g-a_{i}I)_{i}^{n})v=a_{i}v$. Тому $V_{i}$ є власним простором для власного вектора $a_{i}$ і загалом для ендоморфізму існує базис із власних векторів. Тобто $g_{s}$ є напівпростим і рівний многочлену від $g$ з нульовим вільним членом. Також вибравши базис при якому матриця $g$ має жорданову нормальну форму отримуємо, що матриця $g_{s}$ є діагональною із діагоналлю рівною діагоналі матриці $g$. Тому $g-g_{s}$ є жордановою матрицею з нульовою діагоналлю і тому нільпотентною. Отож $g_{n}=g-g_{s}$ буде нільпотентним оператором і також можна взяти $Q(x)=x-P(x)$. Таким чином отримані напівпрості і нільпотентні компоненти і відповідні многочлени. Оскільки $g_{n}$ і $g_{s}$ є многочленами від $g$ то вони комутують між собою.

Для доведення єдиності розкладу припустимо, що $g=g_{s}+g_{n}=h_{s}+h_{n}$. Оскільки всі ендоморфізми $g_{s},g_{n},h_{s},h_{n}$ є многочленами від $g$ то вони комутують між собою. Звідси $g_{s}-h_{s}=g_{n}-h_{n}$ є одночосно напівпростим і нільпотентним оператором, тобто рівним нулю, що завершує доведення єдиності.

• Якщо $W$ — підпростір у $V$ інваріантний щодо $g$ , то $W$ є інваріантним також і щодо $g_{s}$ і $g_{n}$, і до того ж $g|_{W}=g_{s}|_{W}+g_{n}|_{W}$ є розкладом Жордана — Шевальє для $g|_{W}$ (тут $g|_{W}$ позначає обмеження ендоморфізму на підпростір $W$). Якщо $g$ є автоморфізмом, то $W$ є інваріантним також і щодо $g_{u}$ і $g|_{W}=g_{s}|_{W}g_{u}|_{W}$ — мультиплікативний розклад Жордана — Шевальє автоморфізму $g|_{W}$.
• Якщо $k$ — підполе в $K$ і $g$ є раціональним над $k$ (щодо деякої $k$-структури на $V$), то $g_{s}$ і $g_{n}$ не будуть, взагалі кажучи, раціональними над $k$; можна лише стверджувати, що $g_{s}$ і $g_{n}$ є раціональними над полем $k^{p^{-\infty }}$, де , $p$ — характеристична експонента поля $k$ (для полів характеристики 0 $k^{p^{-\infty }}$ є рівним полю $k$, в іншому випадку — це множина всіх елементів з $K$, що є чисто несепарабельними над $k$).
• Якщо $g$ є раціональним автоморфізмом над $k$, то $g_{s}$ і $g_{u}$ є раціональними над $k$.
• Якщо $gh=hg,\;\;g,h\in \operatorname {End} (V)$, то $(g+h)_{s}=g_{s}+h_{s},\;(g+h)_{n}=g_{n}+h_{n}$.
• Якщо $gh=hg,\;\;g,h\in \operatorname {GL} (V)$, то $(gh)_{s}=g_{s}h_{s},\;(gh)_{u}=g_{u}h_{u}$.
• Якщо $g=g_{s}g_{u}$ і $h=h_{s}h_{u}$ — розклади Жордана — Шевальє, то $g\oplus h=(g_{s}\oplus h_{s})(g_{u}\oplus h_{u})$ і $g\otimes h=(g_{s}\otimes h_{s})(g_{u}\otimes h_{u})$ є розкладами Жордана — Шевальє відповідних лінійних відображень.

Локально скінченні ендоморфізми

Поняття розкладу Жордана — Шевальє може бути узагальнене на локально скінченні ендоморфізми нескінченновимірного векторного простору $V$, тобто ендоморфізми $g$, що $V$ породжується скінченновимірними $g$-інваріантними підпросторами. Для $g$ є справедливими твердження про існування і єдиність подання у вигляді суми $g_{s}+g_{n}$ (а для автоморфізмів також у вигляді добутку $g_{s}g_{u}$), комутуючих локально скінченних напівпростого і нільпотентного ендоморфізмів (відповідно напівпростого і уніпотентного автоморфізмів), тобто таких ендоморфізмів, що будь-який скінченновимірний $g$-інваріантний підпростір $W$ у $V$ є інваріантним щодо $g_{s}$ і $g_{n}$ (відповідно $g_{s}$ і $g_{u}$) $g|_{W}=g_{s}|_{W}+g_{n}|_{W}$ (відповідно $g|_{W}=g_{s}|_{W}g_{u}|_{W}$) є розкладом Жордана — Шевальє для $g|_{W}$.

Лінійні алгебричні групи і алгебри Лі

Зазначене розширення поняття розкладу Жордана — Шевальє на локально скінченні ендоморфізми дозволяє ввести означення розкладу Жордана — Шевальє в алгебричних групах і алгебричних алгебрах Лі. Нехай $G$ — лінійна алгебрична група над $K$, ${\mathfrak {g}}$ — її алгебра Лі, $\rho$ — представлення $G$ в групі автоморфізмів алгебри $K[G]$ регулярних функцій на $G$, задане правими зсувами, і $\mathrm {d} \rho$ — його диференціал. Для будь-яких $g\in G$ і $X\in {\mathfrak {g}}$ ендоморфізми $\rho (g)$ і $\mathrm {d} \rho (X)$ векторного простору $K[G]$ є локально скінченними, тому можна говорити про їх розклад Жордана — Шевальє: $\rho (g)=\rho (g)_{s}\rho (g)_{u}$ і $\mathrm {d} \rho (X)=\mathrm {d} \rho (X)_{s}+\mathrm {d} \rho (X)_{n}$.

Один з важливих результатів теорії алгебричних груп полягає в тому, що зазначені розклади Жордана — Шевальє реалізуються за допомогою елементів з $G$ і ${\mathfrak {g}}$ відповідно. Точніше, існують однозначно визначені елементи $g_{s},g_{u}\in G$ і $X_{s},X_{n}\in {\mathfrak {g}}$ такі, що

$g=g_{s}g_{u}=g_{u}g_{s},\;X=X_{s}+X_{n},\;\;[X_{s},X_{n}]=0$

і для цих елементів:

$\rho (g_{s})=\rho (g)_{s},\;\rho (g_{u})=\rho (g)_{u}$

$\mathrm {d} \rho (X_{s})=\mathrm {d} \rho (X)_{s},\;\mathrm {d} \rho (X_{n})=\mathrm {d} \rho (X)_{n}$.

Ці розклади називаються відповідно розкладом Жордана — Шевальє в алгебричній групі $G$ і розкладом Жордана — Шевальє в алгебричній алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$.

Якщо $G$ є визначеною над підполем $k$ поля $K$ і елемент $g\in G$(відповідно $X\in {\mathfrak {g}}$) є раціональним над $k$, то $g_{s},\;g_{u}$ (відповідно $X_{s},\;X_{n}$) є раціональними над $k^{p^{-\infty }}$.

Якщо група $G$ реалізована як замкнута підгрупа загальної лінійної групи $GL(V)$ автоморфізмів деякого скінченновимірного векторного простору $V$ [і, отже, ${\mathfrak {g}}$ реалізується як підалгебра в алгебрі Лі групи $GL(V)$), то розклад Жордана — Шевальє для елемента $g\in G$ збігається з введеним вище мультиплікативним розкладом Жордана — Шевальє для $g$ як автоморфізму простору $V$, а розклад $X\in {\mathfrak {g}}$ як елемента алгебри Лі з адитивним розклад Жордана — Шевальє для $X$, як ендоморфізму простору $V$.

Якщо $\varphi$ — раціональний гомоморфізм афінних алгебричних груп і $\mathrm {d} \varphi$ — відповідний гомоморфізм їх алгебр Лі, то

$\varphi (g_{s})=\varphi (g)_{s},\;\;\varphi (g_{u})=\varphi (g)_{u}$

$\mathrm {d} \varphi (X_{s})=\mathrm {d} \varphi (X)_{s},\;\;\mathrm {d} \varphi (X_{n})=\mathrm {d} \varphi (X)_{n}$

для будь-яких $g\in G,\;X\in {\mathfrak {g}}$.

Поняття розкладу Жордана — Шевальє в алгебричних групах і алгебрах Лі дозволяє ввести означення напівпростого, уніпотентного (відповідно нільпотентного) елементів в довільній афінній алгебричній групі (відповідно алгебричній алгебрі Лі). Елемент $g\in G$ називається напівпростим, якщо $g=g_{s}$, і уніпотентним, якщо $g=g_{u}$. Елемент $X\in {\mathfrak {g}}$ називається напівпростим, якщо $X=X_{s}$ і нільпотентним, якщо$X=X_{n}$.

Нехай $G$ визначена над $k$, тоді $G_{u}=\{g\in G:g=g_{u}\}$ є $k$-замкнутою підмножиною в $G$, а ${\mathfrak {g}}_{n}=\{X\in {\mathfrak {g}}:X=X_{n}\}$ — $k$-замкнутою підмножиною в ${\mathfrak {g}}$.

У загальному випадку $G_{s}=\{g\in G:g=g_{s}\}$ не є замкнутим множиною, але якщо $G$ є комутативною, то $G_{s}$ і $G_{u}$ є замкнутими підгрупами і $G=G_{s}\times G_{u}$. Множини $G_{s}$ і $G_{u}$ в довільній афінній алгебричній групі інваріантні щодо внутрішніх автоморфізмів.

Див. також

• Алгебрична група
• Жорданова нормальна форма
• Напівпростий лінійний оператор
• Нільпотентна матриця
• Уніпотентна матриця
• Уніпотентний елемент

Література

• Humphreys, James E. (1981), Linear Algebraic Groups, Graduate texts in mathematics, т. 21, Springer, ISBN 0-387-90108-6
• Springer, Tonny A. (1998) [1981], Linear Algebraic Groups (вид. 2nd), New York: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4021-5, MR 1642713